Montrer que $$\begin{align}\sum_{i,j}u_{i,j}&=\sum_i\left[\sum_ju_{i,j}\right]\\ &=\sum_j\left[\sum_i u_{i,j}\right]\end{align}$$ (théorème de Tonelli)

Encadrer \(A\) dans un carré
Soit \(I\) l'ensemble des \(i\) et \(J\) l'ensemble des \(J\)
Si \(A\) est une partie finie de \(I\times J\), alors \(A\subset B\times C\) avec \(B\) une partie finie de \(I\) et \(C\) une partie finie de \(J\)

Séparation de la somme
\(\leqslant\) : alors on a $$\sum_{i,j\in A} u_{i,j}\leqslant\sum_{i,j\in B\times C} u_{i,j}=\sum_{i\in B}\left[\sum_{j\in C} u_{i,j}\right]$$

Passage au \(\sup\)
Et en passant au \(\sup\) sur \(A\), $$\begin{align}\sum_{i,j}u_{i,j}&\leqslant\sum_{i}\left[\sum_j u_{i,j}\right]\\ &\leqslant\sum_{j}\left[\sum_i u_{i,j}\right]\end{align}$$

\(\geqslant\) : soit $$S_i=\sum_ju_{i,j}=\sup_{C\text{ fini }\subset J}\left(\sum_{j\in C}u_{i,j}\right)$$

1er cas : \(\exists i_0\in I,S_{i_0}=+\infty\)
Montrons que $$+\infty=\sum_iS_i\leqslant\sum_{i,j}u_{i,j}=+\infty$$

Alors \(\forall M\) minorant, \(\exists C\) finie dans \(J\) tel que $$M\leqslant\sum_{j\in C}u_{i_0,j}=\sum_{i,j\in\{i_0\}\times C}u_{i,j}\leqslant\sum_{i,j}u_{i,j}$$
Puisque \(M\longrightarrow+\infty\), la relation est bien démontrée

Cas où aucun \(S_i=+\infty\) : majorer par \(S_i\)
2e cas ; \(\forall i,\in I,S_i\lt +\infty\)
Soit \(B\) fixe dans \(I\)
À \(i\) fixé et \(\varepsilon\gt 0\), \(\exists C_i\) fini dans \(J\) tq $$S_i-\frac{\varepsilon}{\operatorname{Card} B}\leqslant\sum_{j\in C_i}u_{i,j}\leqslant S_i\lt +\infty$$

On somme par \(i\in B\), $$\sum_{i\in B}S_i-\varepsilon\leqslant\sum_{i\in B}\sum_{j\in C_i}u_{i,j}$$
Soit \(A=\{(i,j)\mid i\in B,j\in C_i\}\). Alors \(A\) est finie et \(A\subset I\times J\)
On a donc $$\sum_{i\in B}S_i-\varepsilon\leqslant\sum_{i,j}u_{i,j}$$